请详细证明椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线垂直

Question

如题所述

Answer 1

证明: 设椭圆方程: x^2/a^2+y^2/b^2=1 则P点(acos?鉨sin?? 过P点的法线斜率 k=-dx/dy=-(dx/d??(dy/d??asin??bcos?? 则设过P点的法线方程 y-bsin?蘫(x-acos??asin??bcos??(x-acos?? 设过P点的法线与长轴相交于A(x,0),所以 -bsin?詀sin??bcos??(x-acos?? 得x=c^2*cos?胊 A点坐标为(c^2*cos?猘,0) 所以F1A=c^2*cos?詀+c PF1=根号((acos?与)^2+b^2*(sin?臹2)=c*cos?臿 PF1/F1A=(c*cos?臿)/(c^2*cos?臿+c)=a/c 设∠F1PF2的平分线交长轴于A'，根据角平分线的性质 PF1/PF2=F1A'/A'F2 得PF1/(PF1+PF2)=F1A'/(F1A'+A'F2) PF1/(2a)=F1A'/(2c) PF1/F1A'=a/c 综合得:PF1/F1A=PF1/F1A'=a/c 所以A与A'重合即椭圆上任意一点P的切线垂直于F1PF2(两焦点和P形成的角)的平分线