解答:
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(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠ABC=∠C=60°.
∵DG是梯形ABCD的高,F是CD的中点,
∴GF=CF,
∴△CGF是等边三角形,
∴GF=CF=CG.
∵AD∥BC,
∴∠BAD=120°.
∵AB=AD,AE⊥BD于点E,
∴∠DAE=
∠BAD=60°,
在△DGC与△DEA中,
∵
| CD=AD | ∠C=∠DAE | ∠DGC=∠DEA=90° |
| |
,
∴△DGC≌△DEA(AAS),
∴AE=CG,即AE=GF;
(2)平行四边形.
证明:∵AB=DC,
∴梯形ABCD为等腰梯形.
∵∠C=60°,
∴∠BAD=∠ADC=120°,
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=30°.
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∴∠BDC=90°.
由已知AE⊥BD,
∴AE∥DC.
又∵AE为等腰三角形ABD的高,
∴E是BD的中点,
∵F是DC的中点,
∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四边形AEFD是平行四边形,
(3)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,
∵AE=5,
∴AD=10.
在Rt△DGC中,
∵∠C=60°,DC=AD=10,
∴DG=CD?sin60°=10×
=5
.
由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=10,
又∵DG⊥BC,
∴DG⊥EF,
∴四边形DEGF的面积=
EF?DG=
×10×5
=25
.