已知等边△ABC，边长为4，点D从点A出发，沿AB运动到点B，到点B停止运动．点E从A出发，沿AC的方向在直线AC

Question

已知等边△ABC，边长为4，点D从点A出发，沿AB运动到点B，到点B停止运动．点E从A出发，沿AC的方向在直线AC上运动．点D的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒2个单位，它们同时出发，同时停止．以点E为圆心，DE长为半径作圆．设E点的运动时间为t秒． (l)如图l，判断⊙E与AB的位置关系，并证明你的结论；(2)如图2，当⊙E与BC切于点F时，求t的值；(3)以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，OC与射线AC交于点G．当⊙C与⊙E相切时，直接写出t的值为____

Answer 1

（1）AB与⊙E相切；（2）1；（3） ，

试题分析：（1）过点D作DM⊥AC于点M，先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，在Rt△ADM中即可表示出AM、DM的长，由AE=2t可得ME= t，在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t，在Rt△ADE中，可得AD+DE=AE，即可得到∠ADE=90°，从而证得结论； （2）连BE、EF，根据切线的性质可得BE平分∠ABC，由AB=BC可得AE=CE，即可求得结果； （3）当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC，分点E在线段AC上与点E在AC的延长线上两种情况分析即可. （1）过点D作DM⊥AC于点M ∵△ABC为等边三角形 ∴∠A=60°   在Rt△ADM中，AD=t，∠A=60° ∴AM= t，DM= t ∵AE=2t ∴ME= t 在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t 在Rt△ADE中，AD=t，AE=4t，DE=3t ∴AD+DE=AE  ∴∠ADE=90° ∴AD与⊙D相切； （2）连BE、EF， ∵BD、BE与⊙O相切 ∴BE平分∠ABC ∵AB=BC ∴AE=CE  ∵AC=4  ∴AE=2，t=1； （3）当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC ∵DE= t， ∴EC= t， 有两种情形： 第一，当E在线段AC上时，AC=AE+EC，2t+ t=4，t= 第二、当点E在AC的延长线上时，AC=AE-EC，2t- t=4，t= . 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径；两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和.