给出定义：若 m- 1 2 ≤x＜m+ 1 2 （其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x

Question

给出定义：若 m- 1 2 ≤x＜m+ 1 2 （其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：①函数f（x）的定义域为R，值域为 [0， 1 2 ] ； ②函数f（x）是R上的增函数；③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1； ④函数f（x）是偶函数，其中正确的命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1

Answer 1

①中，令x=m+a，a∈[- 1 2 ， 1 2 ） ∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0， 1 2 ]， 所以①正确； ②中，∵ 1 4 ∈[- 1 2 ， 1 2 ）- 1 4 ∈[- 1 2 ， 1 2 ），且[ 1 4 ]=0，[- 1 4 ]=-1 f（- 1 4 ）=|[- 1 4 ]+ 1 4 |= 3 4 ，f（ 1 4 ）=|[ 1 4 ]- 1 4 |= 1 4 ， 不满足区间[- 1 2 ， 1 2 ）上单调递增，故②错误； ③中，∵f（x+1）=|[x+1]-（x+1）|=|[x]-x|=f（x） 所以周期为1，故③正确； ∵ m- 1 2 ≤x＜m+ 1 2 （m∈Z）， ∴-m- 1 2 ＜-x≤-m+ 1 2 （m∈Z） ∴f（-x）=|[-x]-（-x）|=|（-m）+x|=|x-m|，f（x）=|[x]-x|=|m-x| ∴f（-x）=f（x） ∴④正确 综上所述，①③④正确． 故选B．