给出定义：若m?12＜x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上

Question

给出定义：若m?12＜x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：（1）y=f（x）的定义域是R，值域是[0，12]（2）y=f（x）是周期函数，最小正周期是1（3）y=f（x）的图象关于直线x＝k2（k∈Z）对称（4）y=f（x）在[?12，12]上是增函数 则其中真命题是______．

Answer 1

（1）中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]]，所以f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]，所以（1）正确．
（2）中，因为f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），所以周期为1，故（2）正确．
（3）中，因为f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），所以关于x＝

k

2

（k∈Z）对称
线x＝

k

2

（k∈Z）对称对称，故（3）正确．
（4）中，当x=-

1

2

时，m=-1，此时f（-

1

2

）=

1

2

，
当x=

1

2

时，m=0，此时f（

1

2

）=

1

2

，
所以f（-

1

2

）=f（

1

2

），所以（4）错误．
故答案为：（1）（2）（3）．