给出定义：若x∈（m-12，m+12]（其中m为整数），则m叫做与实数x“亲密的整数”，记作{x}=m，在此基础上给

Question

给出定义：若x∈（m-12，m+12]（其中m为整数），则m叫做与实数x“亲密的整数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）的图象关于直线x=k2（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-lnx有两个零点．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

①x∈（0，1）时，m=

1

2

，
∴f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，函数在（-∞，

1

2

）上是减函数，在（

1

2

，+∞）上是增函数，故①不正确；
②∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴k-m-

1

2

＜k-x≤k-m+

1

2

（m∈Z），
∴{k-x}=k-m，
∴f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈z）对称，故②正确；
③∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，
∴-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，
∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④由题意，当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-lnx有两个零点．
∴正确命题的序号是：②③④．
故答案为：②③④