左右导数存在，则一定连续吗

Question

如题所述

Answer 1

一定连续。（连续与可导千万不要弄混了，左右导数存在与可导不可导没有关系）

由于符号太难打，只能用文字和图片给你说明了：
单侧导数定义：根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限

及

都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即

，

由此看出，单侧导数存在，那么在此点一定有定义即上面所说的f(x0),又因为函数映射是一一对应关系，即一个x对应一个y ,那么不可能存在在x0处出现两个因变量，否则它不是函数，也就说在此点连续，这个可以证明的，你可以用任意数ε和△x的关系去证明。

延伸解释：
数学问题首先从定义入手，首先连续的概念是函数： 函数f(x)在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称  为函数的的连续点。

而导数的定义是：
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作①  ；
②  ；③  ， 即

由此我们可以看出 可导一定连续，且可导时左导数一定等于右导数并在此点连续，不连续一定不可导。

如果左导数不等与右导数，两者都存在是只能说明此点不可导，但是一定连续！

Answer 2

左右导数存在不一定连续的。

函数f(x)在x0连续,当且仅当f(x)满足以下三个条件:

①f(x)在x0及其左右近旁有定义；

②f(x)在x0的极限存在；

③f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

扩展资料

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。

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Answer 3

所以，只要左右导数存在(相不相等无所谓)就一定连续。

最后，不接受字迹吐槽- -。

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Answer 4

导数存在，一定连续

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Answer 5

一定连续。(连续与可导千万不要弄混了,左右导数存在与可导不可导没有关系) 由于符号太难打,只能用文字和图片给你说明了:单侧导数定义:根据函数在点处的导数的定义,是一个极限,而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等,因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等