如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA=4 3 ,点P是CE延长线

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，AB=10，tanA=
4/3 ，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q，设EP=x，BQ=y．
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

Answer 1

1、由直角三角形中线定理得：CE=AE=EB=5
设AC=a，BC=b，则有a的平方+b的平方=AB的平方=100，且tanA=b/a=4/3 所以a=6，b=8
又因AE=EB 所以∠ECB=∠EBC 又因∠EAC+∠EBC=∠ECB+∠EPQ=90° 所以∠EAC=∠EPQ
即sinA=8/10=(8+y)/(5+x) 简化后得y=4/5x-4 ①
又因点Q在CB的延长线上 所以当x最小时满足：sinA=8/(5+x)=4/5 即x=5
所有综上可得：y=4/5x-4 (x>=5)
2、因为PB平分∠CPQ 所以设tan(1/2A)=t，则由三角函数倍角公式得：tanA=4/3=2t/(1-t^2)
即t=1/2 设BQ=n，则有tan∠BPQ=y/n=1/2 ②
因为三角形CPQ为直角三角形 所以有 PQ^2+CQ^2=CP^2 即 (8+y)^2+n^2=(5+x)^2 ③
由①②③式得：x=11
3、由题目得：当∠FBQ=∠EFB时，∠EFB=∠A 即tan∠EFB=4/3=5/BF 所以BF=15/4
又因为cos∠FBQ=3/5=BQ/BF 所以BQ=9/4 又由 ①得x=125/16
当∠FBQ=∠FEB时，∠FEB=∠A 即tan∠FEB=4/3=BF/5 所以BF=20/3
又因为cos∠FBQ=3/5=BQ/BF 所以BQ=4 又由 ①得x=0（舍去）
综上所述：过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，x的值为125/16。
如有问题，可追问。望采纳！

Answer 2

1、由直角三角形中线定理得：CE=AE=EB=5
设AC=a，BC=b，则有a的平方+b的平方=AB的平方=100，且tanA=b/a=4/3 所以a=6，b=8
又因AE=EB 所以∠ECB=∠EBC 又因∠EAC+∠EBC=∠ECB+∠EPQ=90° 所以∠EAC=∠EPQ
即sinA=8/10=(8+y)/(5+x) 简化后得y=4/5x-4 ①
又因点Q在CB的延长线上 所以当x最小时满足：sinA=8/(5+x)=4/5 即x=5
所有综上可得：y=4/5x-4 (x>=5)
2、因为PB平分∠CPQ 所以设tan(1/2A)=t，则由三角函数倍角公式得：tanA=4/3=2t/(1-t^2)
即t=1/2 设BQ=n，则有tan∠BPQ=y/n=1/2 ②
因为三角形CPQ为直角三角形 所以有 PQ^2+CQ^2=CP^2 即 (8+y)^2+n^2=(5+x)^2 ③
由①②③式得：x=11
3、由题目得：当∠FBQ=∠EFB时，∠EFB=∠A 即tan∠EFB=4/3=5/BF 所以BF=15/4
又因为cos∠FBQ=3/5=BQ/BF 所以BQ=9/4 又由 ①得x=125/16
当∠FBQ=∠FEB时，∠FEB=∠A 即tan∠FEB=4/3=BF/5 所以BF=20/3
又因为cos∠FBQ=3/5=BQ/BF 所以BQ=4 又由 ①得x=0（舍去）
综上所述：过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，x的值为125/16