在三角形ABC中

Question

在三角形ABC中角ABC的对边分别是abc. 已知3a cosA等于c cosB加b cosC (1)求cosA的值 （2）若a等于1，cosB加cosC等于三分之二根号三 求边c

Answer 1

（1）由第一余弦定理知：c cosB+b cosC=a
由已知条件知：3acosA=ccosB+bcosC
由以上两个条件得到：3acosA=a
所以：cosA=1/3
（2）由第一余弦定理知：b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA
将cosA=1/3, a=1带入上面两个式子，并将两个式子相加得到：b+c=cosC+cosB+(b+c)/3
由已知条件知：cosB+cosC=2/3√3，可以算出b+c=√3
所以b=√3-c
由余弦定理知：a^2=b^2+c^2-2bccosA
把a=1, cosA=1/3, b=√3-c代入上式，整理得到：0=c^2-√3c+√3/4
上面的式子解得：c=√3/2

Answer 2

解：1）由第一余弦定理知：c cosB+b cosC=a
由已知条件知：3acosA=ccosB+bcosC
由以上两个条件得到：3acosA=a
所以：cosA=1/3
（2）由第一余弦定理知：b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA
将cosA=1/3, a=1带入上面两个式子，并将两个式子相加得到：b+c=cosC+cosB+(b+c)/3
由已知条件知：cosB+cosC=2/3√3，可以算出b+c=√3
所以b=√3-c
由余弦定理知：a^2=b^2+c^2-2bccosA
把a=1, cosA=1/3, b=√3-c代入上式，整理得到：0=c^2-√3c+√3/4
上面的式子解得：c=√3/2