高二数学题

Question

在（1+x-x²)^6的展开式中x⁵的系数为？

Answer 1

可用二项式定理来求，把其中两项看成一项去求。
也可用排列组合思想求解。展开式中x^5项可以这样产生：两个x²项和一个x相乘；或一个x²和三个x相乘；或五个x相乘。
由两个x²项和一个x相乘得到的x^5项系数为C(6,2)C(4,1)(-1)²=60（其中C是组合数）；
由一个x²和三个x相乘得到的x^5项系数为C(6,1)C(5,3)(-1)=-60；
由五个x相乘产生的x^5的系数为C(6,5)=6。
于是，展开式中x^5的系数为6。

Answer 2

=C(6,0)(1+x)^6+C(6,1)(1+x)^5(-x²)+C(6,2)(1+x)^4(-x²)²+C(6,3)(1+x)^3(-x²)³+C(6,4)(1+x)^2(-x²)^4+
所以
x⁵的系数为：C(6,1)-C(6,1)C(5,3)+C(6,2)C(4,1)
=6-6×10+15×4
=6

Answer 3

在（1+x-x²)^6的展开式中
常数项为1；
x的系数为1C6=6；
x^2的系数为2C6+1C6*(-1)=9;
x^3的系数为3C6+(1C6)(1C5)(-1)=-10;
x^4的系数为4C6+(2C6)(1C4)(-1)+(2C6)(-1)^2=-30;
x^5的系数为5C6+(3C6)(1C3)(-1)^3+(1C6)(2C5)(-1)^2=6-60+60=6
……