设定义域为R的函数f(x)=x2-4，若关于x的函数y=f2(x)-4|f(x)|+c有8个不同零点，则c范围

Question

如题所述

Answer 1

设定义域为R的函数f(x)=x2-4，若关于x的函数y=f2(x)-4|f(x)|+c有8个不同零点，则c范围

解析：f(x)=x^2-4
G(x)=f^2(x)-4|f(x)|+c=(x^2-4)^2-4|x^2-4|+c
写成分段函数：
G(x)= (x^2-4)^2-4(x^2-4)+c=x^4-12x^2+32+c x∈(-∞,-2)或(2,+∞)
G(x)= (x^2-4)^2-4(4-x^2)+c=x^4-4x^2+c x∈[-2,2]
当G(x)=x^4-12x^2+32+c时
G’(x)=4x^3-24x=0==>x1=-√6，x2=√6，x3=0(舍)
G’’(x)=12x^2-24==> G’’(x1)= G’’(x2)=48>0，G(x)在x1,x2处取极小值G(x1)= G(x2)=c-4；
∴c-4<0==>c<4时有4个零点；
当G(x)=x^4-4x^2+c时
G’(x)=4x^3-8x=0==> x3=0，x4=-√2，x5=√2
G’’(x)=12x^2-8==> G’’(x3)=-8<0，G(x)在x3处取极大值G(x3)=c；G’’(x4)=G’’(x5)=16>0，G(x)在x4,x5处取极小值G(x4)= G(x5)=c-4；
∴c-4<0==>c<4且c>0时有4个零点；
∴函数y=f2(x)-4|f(x)|+c有8个不同零点，则c范围为0<c<4.

Answer 2

画出fx的图像，很好画，8个零点说明二次函数2t2 2bt 1在t大于0，小于1的区间上有两个不同的解
那么就转化为一系列的条件
：二次函数判别式大于0，得到：b2大于2
二次函数对称轴大于0小于1，得到b大于-2小于0
t=1时函数值大于0，得到b大于-1.5
综上b的范围就是b大于-1.5，小于-根2