分析:取x=1代入易知f(1)=0,不防令x-t+1=u,则x<=u<=1,dt=-du,
那么
J[1,x]tf'(x-t+1)dt
=-J[x,1](x+1-u)f'(u)du
=J[1,x](x+1-u)f'(u)du
=(x+1)J[1,x]f'(u)du-J[1,x]uf'(u)du,
于是原式为:
(x+1)f(x)=xlnx+(x+1)J[1,x]f'(u)du-J[1,x]uf'(u)du,
两边对x求导得:
f(x)+f'(x)(x+1)=1+lnx+(x+1)f'(x)+J[1,x]f'(u)du-xf'(x),
并注意到:J[1,x]f'(u)du=f(x)-f(1)=f(x),代入于是有:
1+lnx-xf'(x)=0,即f'(x)=(1+lnx)/x,
两边同时积分:
f(x)=Jf'(x)dx
=J(1+lnx)/xdx
=J(1+lnx)d(1+lnx)
=(1/2)(1+lnx)^2+C,
得f(x)=(1/2)(1+lnx)^2+C,
由初始条件f(1)=0,得C=-1/2,
于是f(x)=(1/2)(1+lnx)^2-1/2.
注:其中J表示积分符号,[1,x]为积分区间。仅供参考哈,觉得行可采纳。
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