关于第二类曲面积分对称性的问题。。

Question

如题所述

Answer 1

如果连续或分段连续曲面关于如xoy面对称，且上半曲面和下半曲面的取向如果一致即上下曲面上关于xoy对称的两点处的法向量和z轴正向的夹角同为锐角或同为钝角，那么这时第二类曲面的对称性和第一类一致：被积函数为z的奇函数，则积分值为零。

为z的偶函数，则积分值为二倍的被积函数关于上半曲面的积分值。如果上半曲面和下半曲面的取向相反，则对称性和第一类相反即上面我说的那个球面的情况。

扩展资料：

转化为二重积分，必须注意两个问题：

(1)将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。

(2)根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。

根据积分表达式，确定投影平面，如要计算P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求

得二重积分的积分区域Dyz，此时P(x，y，z)dydz=±P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，简记为前正、后负。

参考资料来源：百度百科-第二型曲面积分

Answer 2

我认为，先去看投影，再去看转化为二重积分的符号，再看被积函数比较好理解。比如第一个投影在xoz面上，左右两侧的投影相同，但两部分曲面法向量与y轴正半轴的夹角肯定是一个是锐角，一个是钝角，投影相同，符号不同。这个时候再看被积函数关于xoz也是相反数，所以正好抵消掉，是二倍，第二个投影在zox面上投影原理一样，但被积函数关于zox面是偶函数，所以是0。第三个投影在yoz面上，投影相同，两部分曲面法向量与x轴正半轴夹角相同，所以积分符号相同。这时再看被积函数，关于yoz面是偶函数，故为2倍。
好了下面总结，这个奇偶的法则应该是：若被积为dxdy的，就看 西格玛 是否关于z轴对称，然后看被积函数关于z=0的积偶性。你的第三个是dydz，所以应该看 西格玛 是不是关于x=0对称，而不是去看关于y=0对称，第三种已经不适用于这个法则了，可以采用我上面所说的，拆开看 西格玛 和被积函数的方法。自己总结的，一家之言，不对还请指正。

Answer 3

这也叫满意回答？一个十分需要注意的地方就是，第二类曲线，曲面积分情况已经转变了。以第二类曲面积分为例，曲面积分Pdxdy,如果积分曲面（区域）关于xoy面对称，被积函数是关于z的偶函数，则积分值为零！

Answer 4

第二类曲面积分的奇偶对称性与普通积分(定积分，二重积分，三重积分)正好相反，
偶函数的积分为0，
奇函数的积分等于一半区域上积分的2倍。追问

你有没有看图片😒

追答

是啊，就是对侧面的

前面两个积分依然是二重积分(这个你要明确)，依据依然是普通奇偶对称性，
第三个积分就有很大不同

追问

我知道 第三个积分是偶然的情况还是普遍的情况

追答

曲面关于y=0对称，
被积函数对y而言是偶函数，
所以，这个第二类曲面积分为0

有普遍性

曲面关于y=0对称，
被积函数对y而言是偶函数，
那么，这个第二类曲面积分为0

追问

能给出大致的证明么

追答

眼睛看花了，这是dydz的积分，以下面的解释为准
首先，积分曲面(侧面圆柱)关于yoz面对称
【主要看这个】

被积函数对x而言是偶函数，
【应该考察对x的奇偶性】
所以，这个第二类曲面积分为0

追问

被积曲面是x≥0的部分呀😳

追答

很简单啊，
投影区域是一样的，
f=x^2
曲面被yoz面分为两片，
前面这片(你画的)取前侧，
化为二重积分时，
前面加“+”号，
被积函数是
f=x^2=1-y^2

后面那片取后侧，
化为二重积分时，
前面加“-”号，
被积函数依然是
f=x^2=1-y^2

两个二重积分正好互为相反数。和为0

没看见题目，算了，
答错了，当我没答

曲面关于yoz不对称，没有奇偶对称性

追问

还是谢谢了

追答

看看我最后一次的回答即可。

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Answer 5

第三个答案是错误的。
因为没有进行曲面积分转二重积分这一步骤。
显然积分区域与y轴成的角度有钝角和锐角，要分成左右两边进行转化。
所以最后答案仍然是0,并不矛盾