第二类曲线曲面积分的对称性问题

Question

第二类曲线曲面积分，当 曲线（曲面）关于某个轴（坐标面）对称，积分函数是某变量的奇（偶）函数时，求曲线（曲面）积分的值。

Answer 1

如果连续或分段连续曲面关于如xoy面对称，且上半曲面和下半曲面的取向如果一致即上下曲面上关于xoy对称的两点处的法向量和z轴正向的夹角同为锐角或同为钝角，那么这时第二类曲面的对称性和第一类一致：被积函数为z的奇函数，则积分值为零。

为z的偶函数，则积分值为二倍的被积函数关于上半曲面的积分值。如果上半曲面和下半曲面的取向相反，则对称性和第一类相反即上面我说的那个球面的情况。

扩展资料：

转化为二重积分，必须注意两个问题：

(1)将曲面S向相应的坐标平面投影，求得二重积分的积分区域。

(2)根据曲面的侧（即法向量的方向）确定二重积分的符号。

根据积分表达式，确定投影平面，如要计算P(x，y，z)dydz，必须将S向yz平面投影，求

得二重积分的积分区域Dyz，此时P(x，y，z)dydz=±P(x(y，z)，y，z)dydz，其中曲面S：x=x(y，z)，(y，z)∈Dyz，二重积分的符号取决于法向量与x正向的夹角，为锐角时取正号，钝角时取负号，简记为前正、后负。

参考资料来源：百度百科-第二型曲面积分

Answer 2

首先，说些题外的：只有第一类曲线积分，第一类曲面积分，定积分，二重积分可以运用积分的对称性，三重的不存在对称性……
记住一句话：对称看方程，奇偶看积分式……
要是曲线关于x/y轴对称，而积分式子是关于y / x的奇函数，则运用对称性，积分为零了……要是给定的曲面关于xoy面对称，而积分式子是关于z的奇函数，则运用对称性，积分为零了，对与关于其他面的对称，就看看积分式子是否是关于垂直于对称面的坐标轴的奇函数就可以了……本回答被提问者采纳

Answer 3

这也叫满意回答？一个十分需要注意的地方就是，第二类曲线，曲面积分情况已经转变了。以第二类曲面积分为例，曲面积分Pdxdy,如果积分曲面（区域）关于xoy面对称，被积函数是关于z的偶函数，则积分值为零！

参考资料：纯手打，望采纳！