如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24cm，AC=16cm，点P从点B出发，沿BA边以4cm/秒的速度移动到点A；点Q从点C

Question

如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24cm，AC=16cm，点P从点B出发，沿BA边以4cm/秒的速度移动到点A；点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（0≤t≤6）秒．（1）已知QD⊥AB，垂足为D．①用含t的代数式表示QD=______cm；②当△APQ的面积是△ABC面积的一半时，求t的值；（2）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，求t的值．

Answer 1

（1）∵点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动，
∴t时的运动路程为2t，
∴CQ=2tcm，
∴AQ=AC-CQ=（16-2t）cm，
∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足为D，
∴QD=

1

2

AQ=（8-t）cm；

（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=

1

2

AC=8cm，
依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，
当S_△APQ=

1

2

S_△ABC时，

1

2

AP×DQ=

1

2

×AB×CE，

1

2

（24-t）（8-t）=

1

2

×

1

2

×24×8，
整理得，t²-14t+24=0，
解得：t₁=2，t₂=12，（不合题意，舍去），
即当t=2时，△APQ的面积是△ABC面积的一半；

（3）当△APQ∽△ABC时，则有

AQ

AC

＝

AP

AB

即：

16?2t

16

＝

24?4t

24

，
解得：t=0（不合题意，舍去）；
当△APQ∽△ACB时，则有

AQ

AB

＝

AP

AC

，
即：

16?2t

24

＝

24?4t

16

，
解得t=5，
综上所述：t=5时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）．
故答案为：（8-t）．