1.在正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图,若点P在线段AO上(不与点A,O重合),延长BP交直线AD于点F,连接EF。写出线段AF,EF,CE之间一个的等量关系,并证明你的结论。
这道题是初二几何题,学生看不懂
追答正切是学过的吧,相似等比学过的吧,你可能不懂的地方是AF=tan(45-x)=(1-tanx)/(1+tanx),是吗?那么,换一个解法,可能计算量大一点,思路如下:设正方形边长为1,从F点作FM垂直BD,垂足为点M,设PO=b,FD=a,∠FBD=x,则FM=√2a/2.因为PE⊥PB,BD⊥AC,所以△BPO∽△BFM,△BFD∽△PEC,根据相似等比,可得:FM/PO=PO/BO,CE/FD=PC/BD.解得:PO=b=√2a/2(2-a).
CE=√2b=a/(2-a).[1式]
DE=1-CE=1-a/(2-a)=(2-2a)/(2-a)[2式]
利用勾股定理求得EF的平方值EF²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
再将(AF+CE)的值平方,(AF+CE)²=(a的四次方-4a³+8a²-8a+4)
所以EF=AF+CE。
您的解法很正确,我作为家长能弄懂。但是学生还没有学相似三角形,不知怎样作辅助线才能证明EF=AF+CE
追答从点E作EM平行AD交AC于点M,则CE=EM,交BF于点N,从P点作直角三角形的中线PG交EF于点G,即PG=1/2EF.易证PG平行于AF,且为梯形AFEN的中位线,所以AF+CE=2PG,所以AF+CE=EF.
追问实在不好意思,老师!我曾经也作了EN平行AD,就是没有证到P为NF的中点,现在您作了直角三角形PEF的中线PG,可我就是没证到PG平行AF或者平行EN.再次麻烦您详解,好吗?谢谢!
②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA=$\sqrt{2}$PG,PC=$\sqrt{2}$CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=$\sqrt{2}$EF,
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$(CE+EF)=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA,
即,PC、PA、CE满足关系为:PC=$\sqrt{2}$CE+PA;
看不懂,题目是求AF.EF与CE的关系式。而且,这道题是初二几何题,学生没法读懂。