正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P为对角线AC上一动点，过点P作PE垂直于DE于点F。

Question

（1）如图（1），当点P与点O重合时，请说明DF=CF.
（2）如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE垂直于PB且PE交CD于点E。
判断DF与EF是否相等，并证明你的结论。

Answer 1

应该是PF⊥CD于F

1、做PH⊥BC于H

∵O是AC中点，ABCD是正方形，PF⊥CD

∴BP(OB)=CP(OC)

BH=CH=1/2BC

∠PHC=∠PFC=∠FCH=90°，且∠BCP=∠DCP=45°

∴P(O)FCH是正方形

∴CF=CH=1/2BC=1/2CD

∴DF=CD-CF=CD-1/2CD=1/2CD

即DF=CF

2、延长FP，交AB于M

∵ABCD是正方形，PFCD于F

∴AMFD是矩形(∠MAD=∠D=∠PFD=90°)

∠MAP(∠BAP)=∠DAP=45°

∴AM=DF，△AMP是等腰直角三角形，即AM=PM

做PN⊥BC于N，易得：PNBM是矩形（∠PNB=∠MBN=∠PMB=90°)

PNCF是正方形（∠PFC=∠FCN=∠PNC=90°，且PC平分∠NCF，即∠PCF=∠PCN=45°)

∴PN=PF，PM=BN

∠NPF=∠BPE=90°(PE⊥PB)

∴∠BPN和∠EPF与互余于∠NPE

∴∠BPN=∠EPF

∴RT△BPN≌RT△EPF(ASA)

∴EF=BN=PM=AM=DF

∴EF=DF

Answer 2

如图，作PH⊥BC ，根据正方形的轴对称性：ΔPBH≌ΔPDF，
∴PH=PF，又∠PHC=∠HCF=∠PFC=90°，
∴四边形PHCF是正方形，
∴∠BPH+∠HPE=∠EPF+∠HPE=90°，
∴∠BPH=∠EPF，又∠PHB=∠PFE=90°，PH=PF，
∴ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚，
∴PE=PB=PD ∴DF=EF﹙等腰三角形三线合一﹚，
CE=CF-EF=CF-DF=PC/√2-PA/√2,,即PC-PA＝√2CE。
(过P作PQ⊥AD于Q，则DF=PQ=AP/√2)
⑵ 作PH⊥BC ，ΔPBH≌ΔPEF﹙ASA﹚ ∴PE=PB=PD ∴DF=EF，
CE=CF+EF=CF+DF=PC/√2+PA/√2，即PC+PA＝√2CE 。

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