非齐次线性方程组解的情况是怎样的？

Question

如题所述

Answer 1

（1）一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解就意味着这个方程组的通解中有着3个参数。因为方程组的通解中每个特解是线性无关的，将含有三个参数的通解中任意2个参数代0，可以得到三个线性无关的解。

（2）证明方程组的系数矩阵的秩等于2

有定理：线性矩阵有无穷多解时，通解中参数的个数=n-R(A),其中n为线性方程组未知量个数，R(A)为矩阵系数矩阵的秩。

那么这个证明可以很容易解答：未知量个数为5，而参数个数为3，那么系数矩阵的秩为5-3=2

（3）非齐次线性方程组解的情况有四种，分别是无解，只有零解，有非零解，有无穷多解。

扩展资料：

常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

 

，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组

 

（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

（2）非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

（3）非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

（4）非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*

参考资料：非齐次线性方程组_百度百科