求cosx/（1+x^2）的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

∫cosx/(1+x^2)dx
纯不定积分无法积出，如果是定积分还有可能是个简单结果。

cosx/(1+x^2)的泰勒级数展开式(-1<x<1)
cosx/(1+x^2)=(0,∞)∑(-1)^n[(0,n)∑1/(2i!)]x^(2n)

积分后无法收敛成初等函数

实在不行，只有展开后再积分了。
cosx/(1+x^2)=(0,∞)∑(-1)^n[(0,n)∑1/(2i!)]x^(2n)
∫cosx/(1+x^2)=(0,∞)∑(-1)^n[(0,n)∑1/(2i!)]x^(2n+1)/(2n+1)+C
(-1,1)∫cosx/(1+x^2)=2(0,1)∫cosx/(1+x^2)
=2(0,∞)∑(-1)^n[(0,n)∑1/(2i!)]/(2n+1)

如果要计算收敛值，非常麻烦。