关于“精算与估算”的案例研讨，我们提供了两节课例，分别是北京市西城区黄城根小学史冬梅老师执教的《两位数乘两位数》和吴正宪老师执教的《估算》。
《两位数乘两位数》是在学生学习两位数乘一位数的笔算和两位数乘整十数的口算的基础上进行学习的。老师们在观看时可以重点关注一下三个问题：
1．面对学生的会计算，他们真正会的是什么？课堂学习中还需要学习些什么？
2．计算教学中，怎样利用直观手段解决算法易学，算理却难深入的问题
3．计算教学中，怎样利用直观手段解决算法易学，算理却难深入的问题？
估算在日常生活中有着十分广泛的应用，让学生在第一学段“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”；在第二学段中“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”，“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”是《数学课程标准》提出有关估算教学的要求。教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，一线教师们（特别是农村地区的教师）常常询问：“课程标准增强了小数教学中估算的分量，有没有必要用这么长的时间来学习估算？”“估算对学生真的很重要吗？”“估算教学重点要抓什么？”“怎样培养学生的估算意识？”还有教师提出：“估算有没有统一的评价标准？”……面对一线教师在“估算”教学中的困惑，我们共同分享吴老师执教的《估算》一课，希望老师们带着以下几个问题思考：
1．估算教学有什么价值？
2．在解决问题的过程中，如何选择恰当的估算方法？
3．怎样培养学生的估算意识和能力，如何培养学生的数感？
案例展示
案例一：《两位数乘两位数》
【案例信息】
案例名称：人教版教材第六册《两位数乘两位数》
讲课教师：史冬梅（北京市西城区黄城根小学，中学高级教师）
【教学设计】
教学目标
1．理解两位数乘两位数乘法的算理，掌握算法，并能够正确进行计算。
2．在引导学生经历发现两位数乘两位数计算方法的过程，体验算法多样化，用渗透数形结合的思想帮助学生理解计算道理。
3．在学习中激发学生探索问题的愿望，使学生在不断的探索交流中深化对知识的认识。
教学过程：
一、教学前侧，在交流中初步掌握算法
1．从生活情境中获取数学信息
教师：从下面图中你了解了哪些信息？
学生读取主题图获得信息：每本12元，买14本，一共要付多少元？
2．列式解决问题
师：怎样求一共要付多少元？为什么要用乘法计算啊？
学生：每本书的价钱是12元,12是每份数，买一样的书14本就表示有这样的14份，求一共是多少元？就是求14个12元是多少？
3．研究竖式计算
教师让学生尝试用竖式进行计算。（一人板演，师巡视寻找不同的算法）
由板书同学介绍竖式计算方法。
教师：在她说的计算过程中，我听到了几句乘法口诀，谁知道说的是那几句口诀？第一句、第二句、第三句、第四句、第五句、最后他还说了一句，把它们加起来就是168（教师画箭头，引导学生打手势，并板书算式）。
接着教师展示学生出现的错例：如12×14=60；12×14=188；12×14=1248。质疑“到底谁做得对啊？”
4．学生采用估算的方式排除不正确的结果。
学生：12×14不可能得60，因为12×10=120，12×14的积一定大于120，证明60是错误答案。
学生：12×14不可能1248，因为12×100=1200,12×14的积怎么会大于1200呢？显然1248是错误的。
学生对12×14=118也提出质疑，证明这个答案是错误的。
教师建议再用计算器验证一下12×14的计算结果吧。
教师:我们用计算器验证12×14的计算结果是168，我们又听了刚才板演学生的发言，大家还有什么问题？。（教师等待学生的反应）大家既然已经认可了，那咱们是不是就可以下课了？(学生反映不能下课,表现出与问题要研究)不下课，你还想知道些什么啊？
二、借助模型，引导学生经历发现两位数乘两位数计算方法的全过程
1．让学生说出心中的疑问
学生：我早就会计算这样的题，但是不知道为什么这样写计算过程。
教师：问得好，做题做事我们不仅要关注结果，更要关注过程。
学生：数学家怎么发现这样计算的？是谁发明的？
教师：你不仅知道方法，还要了解方法背后的道理，要知其然还要知其所以然。
学生：除了计算器，还有什么方法能够验证结果的正确性？
教师：你思考问题很严谨，判断计算的方法是否正确，还需要其他方法证明。
学生：……
教师：大家提了这么多有价值的问题，让我想到了一点，刚才的错题到底错在哪了？计算时需要注意些什么？都值得我们来深入的研究。那我们就再次借助这个示意图来进一步研究，看看我们又会有哪些新的收获。
2．利用点子图将新知识转化为旧知识
（1）借助点子图研究算法
教师：把一元钱看作一个点。出现了这样的点子图，在点子图上分一分，算一算、利用它再次寻找计算的道理。同桌互相交流。
（2）学生用点子图汇报解释问题。
出现以下情况：
12×7×2；14×6×2；14×4×3；14×2×6；12×10+12×4；
12×5+12×5+12×2
师：这么多的解答方法都验证了结果是正确的，这些方法虽各有不同，但它们还有一个共同特点，你发现了吗？
（3）梳理思路
在学生发言中教师帮助学生梳理方法：
12×7×2、14×6×2、14×4×3、14×2×6都是把12或者14分成了若干个份之后进行计算。例如，12×7×2表示把12看成每份数，先求这样的7份是84，然后把84看成每份数，再求这样的2份是168。这里面有份总关系。
12×10+12×4和12×5+12×5+12×2，分别求几个几（份总关系），最后把积相加（整体部分关系），既有份总关系，又有整体部分关系。不论哪种方式都是先分再合。分的目的就是将大的分成小的，复杂的变成简单的,新知识转化为旧知识来解答，实际上就是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数的乘法。
小结：回顾刚才大家利用点子图学习的过程，用计算器验证并不是唯一的验证方法，还可以采用先分再合的方式，将新知识转化成旧知识来验证。
三、多种算法与竖式建立联系，进一步理解算理
1．横式与竖式建立联系
学生思考：12×7×2、14×6×2、14×4×3、14×2×6、12×10+12×4和12×5+12×5+12×2谁与竖式的计算方法一样？
找到答案：12×10+12×4和竖式有关系，竖式中第一个积是12×4，第二个积是12×10，把两个积相加就是168。
2．结合点子图说一说竖式计算的每一步依据。
师：在进行竖式计算时，用到四句口诀的结果，这四句口诀在图中能找到吗？学生带着问题在点子图中找答案。（学生边说，课件边演示）
学生在图中找到每步计算的依据。
每排有2个点，有这样的4排，就是2×4=8。每行有10个，有这样的4行，就是10×4=40。每行有2个，有这样的10行，就是2×10=20。每行有10个，有这样的10行就是10×10=100，把他们相加就是8+40+100+20=168。
小结：回顾刚才学习的过程，虽然10分钟就认同了计算的结果，但由于大家不满足于只找到计算的结果，而是不断的追问为什么？让我们利用点子图通过多种计算的方式，不仅验证了结果的正确性，还使我们找到了计算方法背后的道理。
3．研究错误的产生
下面我们就一起来找一找刚才这几个同学错在了哪里，在计算时要注意些什么？
小结：其实这些同学的错误给我们提供了很好的学习资源，大家通过一起分析，一定能够引起大家的高度重视。
四、不同形式练习满足不同学生需求
1．竖式计算：23×12，反馈学生掌握知识情况。
2．计算游戏猜猜看
3．选择大答案：□2×□4的结果是：
A、586 B、390 C、□8 D、□□8
说说你选择的理由（应用计算器来验证）为什么十位数字各有不同，可得到的乘积的个位都是8啊？
4．选择积的取值范围：1□×1□的结果是可能是多少。
说说你的理由；举例验证时教师直接出结果，让学生感到惊奇。使学生产生找到窍门的学习欲望。
教师讲解：快速计算的秘密其实就藏在点子图中，今天我们的研究也恰好和几千年前数学家的研究不谋而合，让我们来一起看一看。
课件播放录音：我国明朝的《算法统宗》中讲述了一种“铺地锦”的乘法的计算方法，就是用格子来算的，如计算12×14，先把两个乘数分别写在格子的上面和右面，然后把一个乘数各个数位上的数与另一个乘数各个数位上的数分别相乘，如2×4=8，就在右下方的格子中写08，,1×4=8，就在左下方的格子中写04，依次写完，再将斜对着的数分别相加，就得到12×14的乘积168了。
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