非齐次线性方程组 特解

Question

上海交大版线性代数
“已经知道η1，η2是Ax=β（β不等于0）的两个不同解，α1，α2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，求非齐次线性方程组Ax=0的通解。”
答案给的是X=k1α1+k2α2+1/3（η1+2η2）
请问为什么答案给的的特解是1/3（η1+2η2）而不是η1,η2或者是其线性变换?

Answer 1

只要满足 Ax=β 就是非齐次的解。因此特解的可以为：
1/3（η1+2η2），也可以为：
1/3（2η1+η2），还可以为：
η1，η2，
上述4种情形，取其中一种即可。追问

那答案写成这种形式有什么特殊用意么？

追答

应该没有什么特殊用意。因为非齐次解与齐次解相互之间是线性无关的。而非齐次的通解=齐次通解+非齐次的特解。因此，只要写上任意一个非齐次的解即可。

追问

那么题干为什么要给出两个特解？

追答

这就不知道了。