该定理可以根据实数的完整性来证明：
我们将证明第一种情况，f(a)<u<f(b)，第二种情况类似。
让S是[a，b]中的所有x的集合，让f(x)<u。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。
因此，通过完整性，存在上限c=supS。
也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称f(c)<u。存在 ε>0。
由于f是连续的，当|x-c|<δ 时，存在δ>0，使得|f(x)-f(c)|<ε。
这意味着f(x)-ε<f(c)<f(x)+ε对于所有的x∈(c-δ,c+δ)，存在属于S的a'∈(c-δ,c)，使得f(c)<f(a')+ε<u=ε选择a''∈[c,c+δ)，这显然不会包含在S中.
所以我们有f(c)>f(a'')-ε≥u-ε两种不等式u-ε<f(c)<u+ε对于所有的ε>0都是成立的，如我们所说，我们推导出f(c)=u是唯一可能的值。
介值定理也可以使用非标准分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。
扩展资料：
介值定理的应用：
介值定理是说，对于闭区间[a，b]上的连续函数f（x），在最大值M与最小值m之间的任意实数ζ，总可以在该函数定义域内找到一个点c，使得f（c）=ζ。
若M=m，命题显然成立；
若m＜M，由于闭区间上的连续函数f（x）比有最大（小）值，因此设f（x（1））=m，f（x（2））=M，并且a≤x（1）＜x（2）≤b。
若f（x（1））=ζ或者f（x（2））=ζ，则取c=x（1）或者x（2）即可,若m＜ζ＜M，
作函数g（x）=f（x）-ζ，从而g（x（1））=f（x（1））-ζ＜0,g（x（2））=f（x（2））-ζ＞0，这样在区间（x（1）,x（2））内存在一点c，使得g（c）=f（c）-ζ=0,即f（c）=ζ。
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且f（a）f（b）＜0,则在区间（a，b）内存在一点c，满足f（c）=0。
参考资料来源：百度百科-介值定理
“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一。
可以是：设出闭区间[a，b]上连续函数的最小最大值分别为m，M。
如果m≤μ≤M，则在闭区间[a，b]存在一个ε，使f（ε）=μ。
证明：一种证明，可以使用零点定理。
如果【m<μ<M】，则在【开】区间（a，b）存在一个ε，使f（ε）=μ
如果我们证明的过程中 另外说明 m=μ，以及μ=M的情况 结论就是闭区间上存在ε了。
在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。
扩展资料：
考虑实数域上的区间 
（1）如果u是在a和b之间的数，也就是说：
（2）值域 
例如，对于x> 0和f（0）= 0，取 
定义的函数 
在x = 0时连续，这个函数在x=0处不连续，但是该函数具有介值属性。
参考资料：百度百科——介值定理
本回答被网友采纳“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一
一般 我们做题的习惯表述 可以是
设出闭区间[a，b]上连续函数的最小最大值分别为m，M
如果m≤μ≤M，则在闭区间[a，b]存在一个ε，使f（ε）=μ
证明 一种证明 可以使用零点定理
同济书上的结论是
如果【m<μ<M】，则在【开】区间（a，b）存在一个ε，使f（ε）=μ
如果我们证明的过程中 另外说明 m=μ，以及μ=M的情况 结论就是闭区间上存在ε了
注意条件于结论是对应的
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