求：介值定理的证明

请问微积分学中介值定理是怎样证明的？
书中没有。

谢谢

推荐答案 2013-10-25

介值定理是说，对于闭区间[a，b]上的连续函数f（x），在最大值M与最小值m之间的任意实数ζ，总可以在该函数定义域内找到一个点c，使得f（c）=ζ。
证明如下：若M=m，命题显然成立；
若m＜M，由于闭区间上的连续函数f（x）比有最大（小）值，因此设f（x（1））=m，f（x（2））=M，并且
a≤x（1）＜x（2）≤b，若f（x（1））=ζ或者f（x（2））=ζ，则取c=x（1）或者x（2）即可，若m＜ζ＜M，
作函数g（x）=f（x）-ζ，从而g（x（1））=f（x（1））-ζ＜0，g（x（2））=f（x（2））-ζ＞0，这样在区间
（x（1），x（2））内存在一点c，使得g（c）=f（c）-ζ=0，即f（c）=ζ。
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且f（a）f（b）＜0，则在区间（a，b）内存在一点c，满足f（c）=0。

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其他回答

第1个回答 2013-10-25

我既不清楚了，大学老师证明过，用的是反证法，即如果介值定理的结论不成立，则违背函数为连续函数的条件

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