高二 数学 选修2

Question

在直角坐标系xoy中，点p到两点（0，-根号3），（0，根号3）的距离之和等于4，设点p的轨迹为C，直线y=kx+1与C相交于A，B两点。
（1）写出C的方程。 （2）若向量OA垂直于向量OB，求k的值。
我不会做第二问，请写出详细过程教教我，谢谢
第2问答案是根号2

Answer 1

楼主求出第1问的椭圆方程式x^+ y^/4 =1吧？
第2问:
设A，B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
向量OA⊥向量OB，意味着直线OA⊥直线OB，说明直线OA，OB的斜率乘积为-1
也就是说kOA*kOB=-1
根据O（0，0），A(x1,y1)的两点坐标表示出OA的斜率为：
kOA=(y1-0)/(x1-0)=y1/x1
同理可求出：
kOB=y2/x2
于是有：
kOA*kOB=-1
即(y1/x1)*(y2/x2)=-1
<=>x1*x2+y1*y2=0 ①

联立椭圆方程与直线方程，消去y，可得关于x的一元二次方程：
(k^+4)x^ +2kx -3=0
显然，A，B这两个两曲线交点的横坐标即为此方程的两个实根，即：
x1+x2=-2k/(k^+4) ②
x1*x2=-3/(k^+4) ③
而将A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入直线方程y=kx+1，可得到：
y1=kx1+1
y2=kx2+1
两者相乘可得：
y1*y2=k^(x1*x2) + k*(x1+x2) +1
将②，③式代入，得：
y1*y2=(4-4k^)/(4+k^) ④
于是，将③，④式代入①中，可解出k=±1/2

首先，第2问的思路是一定没错的，其次，我认为没必要过于相信答案，很多时候答案也会错，而且，楼主给出的答案还只有一个正值根号2，这题明显肯定是存在一对儿互为相反数的k值，所以答案明显有问题！希望楼主明鉴，按照我的步骤取检验一下！谢谢
另外，我比较仔细的画了一下图，当k=根号2时，从图中明显看出此时的OA与OB根本不可能垂直！相反，我求出的k=正负1/2时，可以得到近似垂直的效果，希望楼主再好好想想，有时候千万不要过于迷信答案！

Answer 2

(1)
√[x+(y+√3)²]+√[x+(y-√3)²]=4
x²+y²/4=1

(2)
x²+y²/4=1
y=kx+1

(4+k²)x²+2kx-3=0
x1x2=-3/(4+k²)

(4+k²)y²-8y+4-k²=0
y1y2=(4-k²)/(4+k²)

k1k2=(y1/x1)(y2/x2)=(k²-4)/3=-1
k=±1