ln(1+x)的泰勒展开式如下：
ln(1+x对于函数f(x)，如果在点x=a处存在一个无限小的邻域。
那么泰勒展开式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数，f''(x)表示函数fn+1)/n。
这个展开式在|x|<1的范围内是收敛的。幂级数，它可以展开为以x为变量的无限级数，其系数由函数的各阶导数确定。这个泰勒展开式的收敛性质与等比数列的收敛性质相似，因为在等比数列中，当公比绝对值小于1时，级数将收敛。
ln(1+x)的泰勒展开式中的每一项都是一个幂次函数乘以一个常数。特别地，第一项是常数1，第二项是二次函数-x^2/2，第三项是三次函数x^3/3，以此类推。这些系数可以通过对ln(1+x)的各阶导数在点x=0处取值计算得到。ln(1+x)的泰勒展开式可以用于求解一些数学问题。
例如，我们可以利用这个展开式计算ln(1+x)在一定范围内的近似值，或者在某些特定条件下求解方程。此外，泰勒展开式也是洛必达法则的一种应用，它可以用来求某些极限值。
ln(1+x)的泰勒展开式是一个无限级数，虽然我们可以用计算机或者数学软件来计算这个级数的值，但是我们也可以利用一些数学技巧来手动计算。
例如，我们可以将级数中的每一项分别计算出来，然后将它们相加得到最终结果。这种方法虽然比较麻烦，但是对于一些简单的数学问题来说是可行的。
😳 :如何将ln(1+ x)泰勒展开
👉 泰勒公式
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1] 。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
👉 泰勒公式的例子
『例子一』 sinx =x -(1/6)x^3+...
『例子二』 e^x = 1+x+(1/2)x^2+...
『例子三』 arctanx = x-(1/3)x^3+....
👉回答
泰勒展开 x0=0 , f(x) = f(0)+[f'(0)/1!]x+[f''(0)/2!]x^2+....+[f^(n)(0)/n!]x^n+...
f(x)= ln(1+x) => f(0)= 0
f'(x)= 1/(1+x) => f'(0)/1!= 1
f''(x)= -1/(1+x)^2 => f''(0)/2!= -1/2
...
n>0
f^(n)(x) = (-1)^(n-1) . (n-1)!/(1+x)^(n+1) =>f^(n)(0)/n! = (-1)^(n-1)/ n
ie
f(x)
=ln(1+x)
=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+...+(-1)^(n-1). x^n/n +.....
得出
ln(1+x) =x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+...+(-1)^(n-1). x^n/n +.....
😄: ln(1+x) =x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+...+(-1)^(n-1). x^n/n +.....