等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数

Question

数学老师只讲了公式 剩下的要自己回家学~
偶能力有限 不懂~ 请好心人帮忙~

Answer 1

等轴双曲线的方程为：x²/a²-y²/a²=1,
即x²-y²=a²
两条渐进线方程分别为y=-x===>x+y+0=0和y=x===>x-y+0=0，
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/√(1+1), d2=|x0-y0|/√(1+1),
则，d1*d2=（x0²-y0²）/2,而x0,y0满足双曲线方程, ∴x0²-y0²=a²,
∴d1*d2=a²/2=常数

Answer 2

教给你一个简单的办法吧，不是帮你算而是帮你理解
还记得初中函数里学的y=a/x吗？那个也是双曲线，而且是等轴的（因为x轴⊥y轴），它的渐近线就是x轴和y轴。注意它上面的等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数，即xy=a
现在高中学的等轴双曲线其实就是把y=a/x绕原点旋转45°得来的，形状完全不变，所以它上面任意一点到两渐近线的距离之积是常数
直接证明还是比较繁琐，希望你能明白