求证:双曲线上任意一点P到他的两条渐近线的距离之积为常数

Question

任意双曲线

Answer 1

等轴双曲线的方程为：x²/a²-y²/a²=1,
即x²-y²=a²
两条渐进线方程分别为y=-x===>x+y+0=0和y=x===>x-y+0=0，
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/√(1+1),
d2=|x0-y0|/√(1+1),
则，d1*d2=（x0²-y0²）/2,而x0,y0满足双曲线方程,
∴x0²-y0²=a²,
∴d1*d2=a²/2=常数