求证等轴双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积是常数？

Question

如题所述

Answer 1

双曲线的式子为y=k/x (k不等于0)
所以k=xy
即等轴双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积是常数

Answer 2

证明：
等轴双曲线的方程为：x^2/a^2-y^2/a^2=1,
即x^2-y^2=a^2=k,k为常数，
两条渐进线方程分别为x+y=0和x-y=0，
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/sqrt(2),d2=|x0-y0|/sqrt(2),
则，d1×d2=（x0^2-y0^2）/2,而x0,y0满足双曲线方程x0^2-y0^2=k,
于是，得d1×d2=k/2=常数
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