已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递...

Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x， （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移π4个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g(α)=√23+1，α为第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=√2sin（2x+π4）+1，
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得：kπ-3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-3π8，kπ+π8]（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意得：g（x）=√2sin（2x-π4）+1，
由A（0，-1），得√2sin（2α-π4）+1=√23+1，
∴sin（2α-π4）=13，
又α为第一象限角，
∴2α-π4∈（4kπ-π4，4kπ+3π4），k∈Z，
又0＜sin（2α-π4）＜13＜√22知，
∴2α-π4∈（4kπ，4kπ+π2），k∈Z，
∴cos（2α-π4）=2√23，
∴sin2α=sin[（2α-π4）+π4]=√22[sin（2α-π4）+cos（2α-π4）]=√22（13+2√23）=√2+46．