已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x

Question

1，求函数f(x)的单调递增区间 2，将函数y=f(x)图像向右平移π/4个单位后，得到函数y=g(x)的图像，求方程g(x)=1在x∈[0,π]上的解集

Answer 1

解：
(1)
∵f(x)=2sinxcosx+2cos²x=2sinxcosx+(2cos²x-1)+1=sin(2x)+cos(2x)+1=(√2)sin(2x+π/4)+1
∴T=2π/2=π.
令2x+π/4=3π/2+2kπ，则x=5π/8+kπ(k∈Z).
即当x=5π/8+kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值1-√2.
(2)
∵f(x)=(√2)sin(2x+π/4)+1
∴f(x+π/8)=(√2)sin[2(x+π/8)+π/4]+1=(√2)sin(2x+π/2)+1=(√2)cos(2x)+1
∴g(x)=f(x+π/8)-1=[(√2)cos(2x)+1]-1=(√2)cos(2x)
∵x∈[-π/6，π/3]
∴2x∈[-π/3，2π/3]
由余弦函数图像知：最大值是1
则g(x)=(√2)cos(2x)的最大值就是√2.
∵g(x)<a-2恒成立
∴a-2>√2
∴a>2+√2.
∴a的取值范围是(2+√2，+∞).
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Answer 2

解:
(1)
f(x)=2sinxcosx+2cos^2x
=sin2x+cos2x +1
=根号2sin(2x+π/4) + 1
所以单调增区间
-π/2+2kπ<=2x+π/4<=π/2+2kπ
-3π/8+kπ<=x<=π/8+kπ
(2)
f(x)=根号2sin(2x+π/4) + 1
向右平移π/4个单位
则
f(x)=根号2sin[2(x-π/4+π/8)] + 1
=根号2sin(2x-π/4) + 1=g(x)
所以
g(x)=1
则根号2sin(2x-π/4)=0
则2x-π/4=0
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