如何证明矩阵的r阶子式都是零？

Question

如题所述

Answer 1

要证明若矩阵a的所有r阶子式都是零，则a的所有r+1阶子式也都是零，可以使用数学归纳法进行证明。
首先，我们需要证明一个结论，即对于任意的n×n矩阵a，如果a的所有r阶子式都是零，则a的所有r+1阶子式都是零。这是我们需要使用数学归纳法来证明的。
对于r=1的情况，即a的所有1阶子式都是零，显然，这意味着a的所有元素都是零，因此a的所有2阶子式都是零。
现在，我们假设结论对于所有的r<k都成立，即a的所有r阶子式都是零，则a的所有r+1阶子式都是零。我们需要证明结论对于r=k也成立，即a的所有k阶子式都是零，则a的所有k+1阶子式都是零。
考虑一个k+1阶子式，可以将它看作由k阶子式和一个行向量（或列向量）组成的。由于我们已经假设a的所有k阶子式都是零，那么我们只需要证明行向量（或列向量）与k阶子式的乘积为零即可。
对于行向量的情况，我们可以将其看作是一个1×(k+1)的矩阵，假设它为v。那么，v和k阶子式的乘积为v×m，其中m是k阶子式的一个列向量。由于m是k阶子式的一个列向量，因此m和v的乘积为零。因此，v和k+1阶子式的乘积为零，这意味着k+1阶子式中至少有一个元素为零。
对于列向量的情况，我们可以将其看作是一个(k+1)×1的矩阵，假设它为v。那么，k阶子式和v的乘积为m×v，其中m是k阶子式的一个行向量。由于m是k阶子式的一个行向量，因此m和v的乘积为零。因此，k+1阶子式中至少有一个元素为零。
因此，我们证明了结论对于所有的r<k都成立，即a的所有r阶子式都是零，则a的所有r+1阶子式都是零。因此，结论对于所有的r成立。