要证明若矩阵a的所有r阶子式都是零,则a的所有r+1阶子式也都是零,可以使用数学归纳法进行证明。
首先,我们需要证明一个结论,即对于任意的n×n矩阵a,如果a的所有r阶子式都是零,则a的所有r+1阶子式都是零。这是我们需要使用数学归纳法来证明的。
对于r=1的情况,即a的所有1阶子式都是零,显然,这意味着a的所有元素都是零,因此a的所有2阶子式都是零。
现在,我们假设结论对于所有的r<k都成立,即a的所有r阶子式都是零,则a的所有r+1阶子式都是零。我们需要证明结论对于r=k也成立,即a的所有k阶子式都是零,则a的所有k+1阶子式都是零。
考虑一个k+1阶子式,可以将它看作由k阶子式和一个行向量(或列向量)组成的。由于我们已经假设a的所有k阶子式都是零,那么我们只需要证明行向量(或列向量)与k阶子式的乘积为零即可。
对于行向量的情况,我们可以将其看作是一个1×(k+1)的矩阵,假设它为v。那么,v和k阶子式的乘积为v×m,其中m是k阶子式的一个列向量。由于m是k阶子式的一个列向量,因此m和v的乘积为零。因此,v和k+1阶子式的乘积为零,这意味着k+1阶子式中至少有一个元素为零。
对于列向量的情况,我们可以将其看作是一个(k+1)×1的矩阵,假设它为v。那么,k阶子式和v的乘积为m×v,其中m是k阶子式的一个行向量。由于m是k阶子式的一个行向量,因此m和v的乘积为零。因此,k+1阶子式中至少有一个元素为零。
因此,我们证明了结论对于所有的r<k都成立,即a的所有r阶子式都是零,则a的所有r+1阶子式都是零。因此,结论对于所有的r成立。
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