余项就是展开式与原函数的误差,余项越少,误差就越小。在一定允许的范围内,余项可以忽略不计,即所谓的无穷小。
泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式有好几种余项:皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分余项等。
1、佩亚诺(Peano)余项:
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
其中θ∈(0,1),p为任意正整数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)
3、拉格朗日(Lagrange)余项:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(Cauchy)余项:
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项:
扩展资料
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面:
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行,因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数,并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值,并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源:百度百科-泰勒公式
1、佩亚诺(Peano)余项:
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
其中θ∈(0,1),p为任意正整数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)。
3、拉格朗日(Lagrange)余项:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(Cauchy)余项:
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项:
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
扩展资料:
常用的公式:
函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况,即是泰勒公式的特殊形式,若f(x)在x=0处n阶连续可导,则下式成立:
其中表示f(x)的n阶导数。
当
其中δ在0与x之间时,公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。
当
且n阶导数存在时,公式称为带佩亚诺型的n阶麦克劳林公式。
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