求证:DE与圆O相切;
要求要用三种方法,可添加辅助线,可标∠1∠2∠3,写法完整,最好有标图
一、
连接OD,OD为三角形ABC中位线,OD与AC平行,
所以,∠4=∠3
圆O内,OA=OE,所以,∠1=∠2
而作为三角形AOE的外角,∠3+∠4=∠1+∠2
所以,∠3=∠4
OB=OE
共用OD
三角形OBD与三角形OED全等,
∠OED=∠ABC=90°
所以,OE⊥DE
所以,DE为圆O切线。
二、
分别连接OD、BE,设OD、BE交于点F,
OD为中位线,则F为BE中点,
所以,OF垂直平分BE,
所以,四边形OBDE为筝形,
∠OED=∠ABC=90°
所以,OE⊥DE
所以,DE为圆O切线。
三、
过点D作AC的垂线,垂足为F,
直角三角形ABC与直角三角形DFC相似,
所以,CD/AC=FC/BC
由于D为BC中点,即,DC=BC/2
所以,BC*BC=2*FC*AC
已知,BC是圆O的切线,
由割线定理有,BC*BC=AC*CE
所以,CE=2*FC
即,F是CE的中点,
所以,∠1=∠2
又,易知,∠3=∠4,且∠2+∠3=90°,
所以,∠1+∠4=90°
∠OED=90°
所以,OE⊥DE
所以,DE为圆O切线
追问第三部我没看懂
CD/AC=FC/BC是什么?
而且DE算是垂直吧。
BC*BC=2*FC*AC这又是什么
整个第三个方法全部不懂
过点D作AC的垂线,垂足为F,
共用锐角∠2,
所以,RT△ABC∽RT△DFC,则对应边成比例,
所以,CD/AC=FC/BC
已知,CD=BC/2,代入上式得,BC/(2*AC)=FC/BC
所以,BC*BC=2*AC*FC...................................................(1)
已知,BC是圆O的切线段,且,直线AC交圆O于近点E、远点C(相对于点C),
由割线定理有,BC*BC=AC*CE.......................................(2)
比较(1)、(2)式可知,
CE=2*FC
所以,F是CE的中点,
所以,……