如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF。在△ABC中，当AC=3

Question

如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF。在△ABC中，当AC=3，AB=4，BC=5时，求四边形AEFD的面积.（谢谢）

Answer 1

1）证明：∵△BCF和△ACE是等边三角形，
∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，
∴∠ECA-FCA=∠BCF-∠FCA，
即∠ACB=∠ECF，
∵在△ACB和△ECF中
AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB，
∵三角形ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴EF=AD=AB，
同理FD=AE=AC，
即EF=AD，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
2）解：当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：
∵∠DAB=∠EAC=60°（已证），∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，
∴D、A、E三点共线，
即边DA、AE在一条直线上，
∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，
故答案为：60°．

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Answer 2

1）证明：∵△BCF和△ACE是等边三角形，
∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，
∴∠ECA-FCA=∠BCF-∠FCA，
即∠ACB=∠ECF，
∵在△ACB和△ECF中
AC=CE，∠ACB=∠ECF，BC=CF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB，
∵三角形ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴EF=AD=AB，
同理FD=AE=AC，
即EF=AD，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
2）解：当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：
∵∠DAB=∠EAC=60°（已证），∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，
∴D、A、E三点共线，
即边DA、AE在一条直线上，
∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，
故答案为：60°． （3）过A点做AG垂直EF于G，∵AC²+AB²=BC²，∴∠BAC=90°，∴∠DAE=360-60-60-90=150°，又∵∠DAE＋∠AEF=180°，∴∠AEF=30°，所以AG=1/2AE=1/2AC=1.5，∴S四边形AEFD=DA×AG=AB×AG=4×1.5=6 祝你学习进步