向量计算公式

Question

如题所述

Answer 1

向量的加法遵循平行四边形法则和三角形法则，表示为OB+OA=OC。如果向量a和b相加，其结果可以表示为a+b=(x+x',y+y')。特别地，向量与零向量相加保持不变，即a+0=0+a=a。向量加法满足交换律a+b=b+a和结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法涉及两个互为相反的向量a和b，其中a=-b，b=-a，从而a+b=0。0的反向量也是0。向量减法可以表示为AB-AC=CB，即“共同起点，指向被减向量的终点”。若a=(x,y)，b=(x',y')，则a-b=(x-x',y-y')。

数乘向量是指实数λ与向量a的乘积，记作λa，且|λa|=|λ|·|a|。当λ>0时，λa与a方向相同；当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向上缩短为原来的|λ|倍。数与向量的乘法满足结合律、第一分配律和第二分配律，以及数乘向量的消去律。

向量的数量积定义为两个非零向量a和b的夹角〈a,b〉，其范围在0到π之间。向量的数量积是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线，则a·b=±|a|·|b|。向量的数量积的坐标表示为a·b=x·x'+y·y'。向量的数量积满足交换律a·b=b·a，结合律(λa)·b=λ(a·b)，以及分配律（a+b)·c=a·c+b·c。数量积的性质包括a·a=|a|的平方，a⊥b〈=〉a·b=0，|a·b|≤|a|·|b|，以及向量的数量积与实数运算的主要不同点，如不满足结合律和消去律。

向量的向量积是两个向量a和b的向量积（外积、叉积），是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：|a×b|=|a|·|b|·sin〈a,b〉，方向垂直于a和b，并且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质包括|a×b|是以a和b为边的平行四边形面积，a×a=0，以及a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。向量的向量积运算律包括a×b=-b×a，（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb），以及a×（b+c）=a×b+a×c。

值得注意的是，向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有定义的。