齐次线性方程组指的是
常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。[1][2]
中文名
齐次线性方程组
外文名
homogeneous linear equations
学科
线性代数
属性
常数项全部为零的线性方程组
求解方法
化为阶梯形矩阵再求解
快速
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判定定理
结构
性质
定义
常数项全为0的n元线性方程组
称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的
行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：
当r=n时，原方程组仅有零解；
当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。[3]
证明
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
示例
依照定理n=4>m=3一定是存在非零解。
对系数矩阵施行初等行变换：
最后一个矩阵为最简形，此系数矩阵的齐次线性方程组为：
令X4为自由变元，X1，X2，X3为首项变元。
令X4=t，其中t为任意实数，原齐次线性方程组的解为 。[1]
判定定理
定理1
齐次线性方程组 有非零解的
充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是r(A)=n。
结构
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组，若r(A)=r<n，则存在
基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。[4]
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为
行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.
性质
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（
克莱姆法则）[5]