由布丰投针问题拓展

Question

针长l,平行线间距a(a>l),则针与线相交的概率为p=2l/a(pi)
那么假设在该组平行线的基础上再加一组垂直的间距也为a的平行线，针与方格线相交的概率如何求？我想的是针与两组相交是相互独立的，概率均为p,那么与方格线相交的概率为[1-（1-p)^2]。继续想下去，n组平行线任意组合，均相互独立，最终概率为[1-(1-p)^n]，但随着n的增加，格子越来越小，很快格子间最大距离小于针长，即针与线相交的概率达到1，此时n并不大，在[1-(1-p)^n]中并不能得到1，求高手指点其中哪里出错了，多谢。

Answer 1

请看以下：
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

Answer 2

很快格子间最大距离小于针长，即针与线相交的概率达到1

这里错了
即使这样 针横过来也是碰不到的
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