行列式增阶法为什么值不变？

Question

为什么行列式增阶计算值不变

Answer 1

行列式增阶法是指在矩阵中添加一个相同的行或列，并且将其他行或列的元素做出相应的调整，从而来求出新矩阵的行列式。具体而言，在矩阵中增加一个行或一列，并且将其他行或列的元素分别乘上对应的因子，然后加到新行或新列上去。可以证明，此时得到的新行列式的值与原行列式的值是相等的，即增加一行或一列并不会改变矩阵的行列式的值。

这个结论可以通过行列式的定义来证明：行列式定义为所有可能的行排列或列排列的符号和乘积之和。因此，当我们增加一行或一列时，符号和乘积的乘积数量保持不变，只是每个乘积中的因子数增加了1，这时我们可以将增加的新行或新列的项提取出来，然后用原有的行列式来表示它们，此时我们可以发现剩下的行列式与原行列式是相等的，因此增加行或列并不会改变行列式的值。

需要注意的是，这个结论仅在增加的行或列和原有的行或列线性相关时才成立。如果增加的行或列与原有的行或列线性无关，那么行列式的值会发生改变。