怎么证明线性表示与方程组之间的关系？

Question

如题所述

Answer 1

只要理解了线性表示与方程组之间的关系，这种题目很简单。
设有两个列向量组a1,a1,a2,...,an与b1,b2,...,bm，设两向量组组成矩阵A=(a1,a2,...,an)与B=(b1,b2,...,bm)。
根据线性表示的定义，如果一个向量b可以由a1,a2,...,an线性表示，即存在系数k1,k2,...,kn，使得x1a1+x2a2+...+xnan=b，用方程组来表示，就是方程组Ax=b有解。所以向量组b1,b2,...,bm可以由a1,a2,...,an线性表示，就变成了矩阵方程AX=B有解，也就是存在一个矩阵C，使得AC=B。所以由矩阵等式AC=B得到：B的列向量组可以由A的列向量组线性表示。
进一步，转置后C'A'=B'，所以B'的列向量组可以由C'的列向量组线性表示，所以又有一个结论：B的行向量组可以由C的行向量组线性表示。
综上，由AC=B可知：B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，B的行向量组可以由C的行向量组线性表示。

对于本题来说，AB=C，可以得到的结论是：
C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，
C的行向量组可以由B的行向量组线性表示。

B可逆，则又有C(B逆)=A，所以
A的列向量组可以由C的列向量组线性表示，
A的行向量组可以由(B逆)的行向量组线性表示。

综合一下就可知：C的列向量组与A的列向量组等价。