线性代数行列式 求详细解答过程

Question

如题所述

Answer 1

首先是将这个行列式，按照行列式加减法规则，分成两个行列式的和即：

a^2 a^2 a 1 1/a^2 a^2 a 1
b^2 b^2 b 1 + 1/b^2 b^2 b 1
c^2 c^2 c 1 1/c^2 c^2 c 1
d^2 d^2 d 1 1/d^2 d^2 d 1

很容易看出，第一个行列式有两列完全相同，行列式的值为0 。问题就转化成了求第二个行列式的值。
对第二个行列式，第一行到第四行分别乘以a^2,b^2,c^2,d^2后，行列式变为(abcd)^2=1：
1 a^4 a^3 a^2
1 b^4 b^3 b^2
1 c^4 c^3 c^2
1 d^4 d^3 d^2
对这个行列式进行转置后，再从第二行开始亮亮交换
就变成了缺少一次幂行的范德蒙行列式。

1 1 1 1
a b c d
a^2 b^2 c^2 d^2
a^4 b^4 c^4 d^4

我们利用加行的方法来解决这个问题.
加完行行列式变成5行5列,如下:

1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4

这就成了标准的范德蒙行列式
利用行列式展开法则,按第5列展开,得到的展开式如下:
A15 + (-A25) * x + A35 * x^2 + (-D) * x^3 + A55 * x^4 [其中A为代数余子式,D为前面的四阶行列式的值]
由范德蒙行列式计算公式,得出该五阶行列式的值为:
(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
它和上面的展开式相等，我们所需要的是行列式D的值，所以我们需要算的就是展开式中x^3的系数，所以得出D＝
(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)

Answer 2

答案是 (1／a ＋1／b ＋1／c ＋1／d)(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)

楼下转置过程有误！