如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA = EC。
⑴求证:AC^2= AE·AB;
⑵延长EC到点P,连结PB,若PB = PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由。
⑶在⑵的条件下,若⊙O的半径为5,CF=2,求PB的长.
1、连接BC,则:∠EAC=∠ECA=∠BAC=∠BCA
所以:△ABC∽△ACE
所以:AB/AC=AC/AE
所以:AC²=AB*AE
2、连接BC,BO则:∠ABC=∠BAC
而∠PEB=∠EAC+∠ECA=2∠EAC
所以:∠PBE=∠PBC+∠CBA=∠PEB=2∠EAC
即:∠PBC+∠CBA=2∠EAC
而:∠CBA=∠EAC
所以;∠PBC=∠EAC
即:∠PBC=∠BAC
而:OB是圆的半径,
所以:PB是圆的切线。即PB与圆O相切
3、因为:OC=5,CF=2
所以:OF=3
由勾股定理求得:BF=4
。。。
追问然后PB呢?
追答延长DC,BP交于M点。则△BMO是直角三角形
所以:BF²=MF*FO
即:MF=16/3
所以:MC=(16/3)=2=10/3
由元的切线定理求得:∠MBC=∠CAB=∠CBA
即:CB平分∠CBF
所以:BM/BF=MC/CF
所以:求得BM=[(10/3)*4]/2=20/3
由∠MBF=∠CEF知:∠M=∠FCE=∠PCM
所以:△PMC是等腰三角形,有PM=PC
连接PA,则△OAB也是等腰三角形,
而:∠BOC=2∠CAB,
所以:∠BOC=∠CEB,即∠BOF=∠CEF
所以:∠FCE=∠OBF
即:∠M=∠OBA
所以:△PMC∽△OBA
所以:BO/PM=AB/MC
即:5/PM=8/(10/3)
求得PM=25/12
所以:PB=(20/3)-(25/12)=55/12