大学概率论与数理统计-徐雅静 例1.10题 有点问题

Question

某家庭中有两个孩子，已知其中至少有一个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男，女出生率相同）。
（书上的解为） 解： 用g代表女孩，b代表男孩，A=“该家庭中至少有个男孩”，B=“两个都是男孩”，在已知至少有一个男孩条件下，该家庭的两个孩子只能是bb，bg，gb三种情况之一，故C=｛bb，bg，gb｝=A，而B=｛bb｝，所以所求概率为1/3,记为P（B|A），即P(B|A)=1/3，称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率。
我的观点：既然已经确定知道其中一个为男孩，那么他问的另一个也是男孩的概率，C=｛bb，bg｝这两种情况，根本就没有gb这种情况，P（B|A）=1/2,故觉题有问题。
还有就是题上所说（假设男，女孩出生率相同），两个孩子，第一个生的男孩，第二个生男生女概率一样，
都是1/2，这也和我上面的观点一样，故P（B|A)=1/2。
你们认为呢

Answer 1

这是一个非常典型的问题，我想说的细一些，主要是你没有理解条件概率的数学价值，而误认为是一个有实际意义的量。
【分析】
A=“该家庭中至少有个男孩”，B=“两个都是男孩”，现在求P（B|A)
那么根据条件概率公式。P(B|A)=P(AB)/P(A)
P(A)：家庭中至少有个男孩子的概率，1-0.5^2=3/4（1减去全是女孩的概率）
P(AB)：两个都是男孩和至少有个男孩同时发生=两个都是男孩，概率为：0.5*0.5=1/4（先生一个是男孩，后面又生了一个男孩）
代入计算，得到P(B|A)=1/3。
至于你认为，已知道一个是儿子，另一个的概率是0.5呗，生闺女和生女儿的概率是一样的，这种想法是典型错的。一定要按照概率论也理解概率发生的细节。因为有时候你理解的和概率论所说的不是一回事。这里让你求的是条件概率，不是普通的概率。
这里主要运用了概率论的乘法公式，如果一件事发生，需要满足N个条件，并且N个条件是相互独立的，那么整个事件发生的概率，就是N个事件独自发生的概率的乘积。生一个孩子，男孩或女孩，这是一个集合，生男和生女是两个互斥事件，概率各自为0.5。再生一个孩子，就是另一个集合了。和第一个孩子没有任何关系，第一次生个女孩的概率是0.5，第二次生女孩的概率也是0.5，那么两次都生女孩的概率就是0.5*0.5，这就是前面求解概率的基础。
【条件概率的含义？】 条件概率是研究，如果你知道一个集合里，A发生的概率P(A)，B发生概率P(B)，以及两者同时发生的概率P(AB)，那么求A发生后，B又发生的概率也就是P(B/A)（或者求P(A/B)）初学者很容易错解：P(A/B)和P(AB)有啥区别？一个是A发生了B也发生，一个是A发生的情况下，B也发生了，不都是两者全发生了吗，有啥区别？其实这就是问题关键所在。两者是不同的，满足一个公式，P(B|A)=P(AB)/P(A)。
引入条件概率的原因就是满足计算要求，当知道p(AB)和P(A)和P(B)的情况下，怎么让三者建立联系呢？引入一个概率吧P(A|B)。这个概率有实际意义吗？没有，纯粹就是数学需要，我们实际当中只关心p(AB)和P(A)和P(B)。P(A|B)的名字非常有误导性，如果我起名，我宁可叫“过渡概率”或者“关联概率”
【总结】因此，这个题目是让你求的一个没有实际意义的条件概率，你用有实际意义的概率回答，本身就是错的。数学玩的就是逻辑，不要太当回事

Answer 2

你不理解条件概率的意义：计算条件概率，一般有两种方式，一种是缩小样本空间，然后直接计算B。例题解法就是如此。第二是用公式：P（B|A)=P(AB)/P(A),对于这个题
P（ 第二个是男孩）/P（至少有一个是男孩）=0.5/0.75=2/3
注意：事件（至少一个是男孩并且第二个是男孩）=事件（第二个是男孩）

Answer 3

你这把顺序都考虑进去了
bg这难道不是至少有一个是男孩的情况么