概率论 为什么这道题不能直接认为是条件概率 我旁边铅笔写的为什么不对

Question

概率论 为什么这道题不能直接认为是条件概率 我旁边铅笔写的为什么不对如图，求详解

Answer 1

我没明白你为什么要用条件概率

P（A1）是在总体情况下，A1的概率，分母是总体情况
P（A2|A1补）是A1补成立的条件下，A2的概率，分母是A1补。
两个都不是一个层次的东西，怎么去相加的？相加的理由何在？
相加的原理是不相容事件的概率可以相加。
而不相容事件是同一个全集下的各个没有交集的部分。
现在P（A1）是以全体事件为全集。
而P（A2|A1补）是以A1补为全集。
两个概率事件的全集都不一样，怎么可以说两者相容还是不相容？没法比较，所以也没法相加啊。
如果按照你的想法去加，如果修改一下题目的一些条件，你这种相加，有可能出现结果大于1的情况。追问

P(A1)是第一次取到了合格品，P(A2|A1bar)是在第一次没有取到合格品的条件下，第二次取到了合格品，P(A3|A1A2bar)同理，然后三个加起来，就是三次至少有一次取到了合格品

追答

我画个图，说说你的错误在哪里吧。

整个大红框，就是全部事件。

最左边的部分就是A1，中间黑色框就是A1不成立的时候，A2的情况

蓝框的就是A1、A2都不成立的时候，A3的情况。

现在问着三块合起来占的比例是多少？

怎么算？

当然是A1面积/大红框的面积+A1补A2面积/大红框的面积+A1补A2补A3/大红框的面积

这样计算，才是三块合起来占比例多少。

而你的算法是啥呢？

P（A1）是A1面积/大红框的面积

P（A2|A1补）是A1补A2面积/（大红框-A1面积）

请问，这两个比例，所除以的整体面积都不一样，怎么相加？

一个是占大红框的比例，一个是占（大红框-A1面积）的比例，这两个比例相加，有何愿意？

同理，P（A3|A1补A2补）=A1补A2补A3/（大红框-A1面积-A1补A2面积）

这个又如何和上面的比例相加，这种相加，意义何在？

追问

给您发的这幅图里的这道题，为什么就可以用条件概率呢？这两道题有何区别？

追答

然后呢？难道书上就直接把7/15和7/24两个概率相加了吗？
我觉得书上应该这样做：
P（A0）*P（B|A0）+P（A1）*P（B|A1）+P（A2）*P（B|A2）才对。
那么P（A0）*P（B|A0）=P（A0B）；P（A1）*P（B|A1）=P（A1B）；P（A2）*P（B|A2）=P（A2B）
之所以这样做，是因为这个题目中，A0；A1；A2和B之间，不是相互独立的。无法直接求P（A0B），P（A1B），P（A2B）.必须通过条件概率来求着三个概率。

追问

那这道题和我一开始问的题有什么区别呢，为何二者做法不同，请您详细指点我一下，谢谢

追答

做法一模一样啊。

你看，我画红框的地方，不也是用条件概率。算出画黑框的概率来吗？

这和我写的第二个题目的

P（A0）*P（B|A0）+P（A1）*P（B|A1）+P（A2）*P（B|A2）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）

一模一样啊。

问题是，你只看到了第二个题目，计算过程中，有条件概率。其实第一个题目中，也有条件概率。

但是你没理解这些题目中，出现条件概率是干啥的，就认为将几个条件概率相加就行了。

追问

谢谢！

如果您有空的话

麻烦您帮我看看这道题，谢谢