公式证明：周长相等的矩形和正方形，为什么正方形面积最大？

Question

用那个 a的平方 ， b的平方 ，根号下ab，证明

Answer 1

令长方形的边长为a，b，则周长=2a+2b
正方形周长=长方形周长=2a+2b
正方形边长=（2a+2b)/4=(a+b)/2

长方形面积：ab
正方形面积 = {(a+b)/2}^2 = 1/4(a^2+b^2+2ab) = 1/4 { (a-b)^2+2ab+2qb } = 1/4(a-b)^2 + ab
长方形的长≠宽
∴a-b≠0
∴（a-b)^2＞0
∴正方形面积 = 1/4(a-b)^2 + ab ＞ ab = 长方形面积

Answer 2

解析：设周长为c，
则长方形的长与宽的和为c/2，正方形的边长为c/4，
长方形的面积为长乘宽，
正方形的面积为c^2/16，
由基本不等式：长乘宽<=(长+宽)^2/4
=[(c/2)^2]/4
=c^2/16
即：长方形的右积<=正方形的面积，
所以
周长相等的矩形和正方形，正方形面积最大

Answer 3

设a、b为矩形的两个边，根据题意a+b=c为定值，且c为固定周长的一半。
矩形面积S=ab=a(c-a)=c^2/4-(c/2-a)^2。从此式中知c/2=a时，矩形面积有最大值c^2/4。
此时a=b=c/2

Answer 4

s=2(a+b)
a=s/2-b (1)
S=ab=b(s/2-b)
当b=s/2-b时S最大，此时b=s/4
代入（1）得
a=s/4=b
这时得到的是正方形。
所以
周长相等的矩形和正方形，正方形面积最大

Answer 5

设矩形的周长为L，长为a，则宽为(L-2a)/2，矩形的面积为S=a*(L-2a)/2
S=1/2(La-2a^2)
S=-(a-L/4)^2+(L/4)^2
因为L为定值，所以当a=L/4时，S的值最大（把式子看成以a为变量的一元二次方程的配方式），即当长a为四分之一周长时面积最大，S的最大值为+(L/4)^2。也就是说，周长为一定值的矩形，长宽相等时面积最大。