已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的实数x满足f（2+x）=f（2-x），若...

Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的实数x满足f（2+x）=f（2-x），若x≥2时，f（x）=2x （1）求f（0），f（-1）的值，并求f（x）的解析式． （2）当x∈[-1，t]，求函数f（x）的最大值． （3）解关于x的不等式f（x+3）＞f（3x-1）．

Answer 1

解：（1）∵f（2+x）=f（2-x），
∴函数的图象关于直线x=2对称，
∴f（0）=f（4）=16，f（-1）=f（5）=32
当x＜2时，f（x）=f（4-x）=24-x，
所以f(x)=24-x，x＜22x，x≥2，
（2）当-1＜t＜5时，f（x）max=f（-1）=32，
当t≥5时，函数f（x）为增函数，故f（x）max=f（t）=2t，
（3）由（1）可知，不等式f（x+3）＞f（3x-1）转化为
即解|x+3-2|＞|3x-1-2|，
两边平方整理得2x2-5x+2＜0，
解得x∈(12，2)