如何证明介值定理？

Question

如题所述

Answer 1

介定理，也称为达布定理，是积分学中的基本定理一，它主要表明在一定条件下函数在一个区间内取到介于最大值与最小值之间的任意值。
具体来说，介值定理陈述: 假设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且存在于区间 (f(a), f(b)) 之间的一个数 c ， 那么必存在于 [a, b] 这个区间的一个数 x0 , 使得 f(x0) = c。
证明介值定理一般有以下几种方法：
1. 利用零点定理：零点定理是介值定理的特例。假设在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 与另一个函数 g(x) 相等，那么通过证明 g(x) 在 (f(a), f(b)) 上连续，便可以直接用零点定理证明介值定理。
2. 利用反证法：假设在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 不存在介于 f(a) 与 f(b) 之间的数 c，然后通过推导出矛盾来进行证明。
3. 利用平均值定理：通过平均值定理可以得到介值定理的一个直接推论。平均值定理陈述了连续函数在任何一个开区间内取到平均值的情况，而介值定理可以由此推导出来。
以上是几种可能用到的证明方法，证明介值定理需要深入理解该定理的相关概念和连续函数的性质，并灵活运用相关理论和技巧进行证明。具体的证明方法可能会根据连续函数的性质和具体情况而有所不同。

Answer 2

“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一

一般 我们做题的习惯表述 可以是  

设出闭区间[a，b]上连续函数的最小最大值分别为m，M

如果m≤μ≤M，则在闭区间[a，b]存在一个ε，使f（ε）=μ

证明  一种证明 可以使用零点定理

同济书上的结论是

如果【m<μ<M】，则在【开】区间（a，b）存在一个ε，使f（ε）=μ

如果我们证明的过程中 另外说明 m=μ，以及μ=M的情况  结论就是闭区间上存在ε了

注意条件于结论是对应的