用
反证法，设介值为u，对区间2等分，取同时包含大于u和小于u的值的区间（如果没有这样的区间，说明中间分界处的值为u，则直接得证），按上述取法一直划分，利用区间套定理，可知有且仅有一个x0在所有区间内，若f(x0)不为u，不妨令f(x0)>u，由连续性，对
任意ε>0，存在δ>0，使得U(x0,δ)中，|f(x)-f(x0)|<ε，取ε=|f(x0)-u|/2，则在U(x0,δ)中，f(x)-u>0，而由于x0在上述构造的任意区间内，且区间长趋于0，取区间长<δ/2的区间，则区间在U(x0,δ)内，这与区间的选取矛盾，所以利用反证法可知，f(x0)=u，证毕