我来回答你,是将曲线或者曲面的边界代入被积函数,比如球面方程 x²+y²+z²=a²(注意:这是球面方程,而非实心球体的方程,除非是x²+y²+z²≦a²,才是球体方程) 是将a²代入被积式.。
举例 ,曲面积分 ∫∫(x²+y²+z²)dxdy =a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy (积分区域为球面 x²+y²+z²=a²外侧) 按照你说的意思就是∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy = (这一步的时候已经将曲面积分转化为了
二重积分了,只是多了一个
正负号和双值函数的区别)∫∫(a²-z²-y²)dydz +(a²-x²-z²)dzdx + (a²-x²-y²)dxdy 再用
高斯公式,这样是错误的。
事实上,这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 分别对x²、y²、z²求导数,直接转化为
三重积分,最后用三重积分的对称性结果为0 。 还可以对∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 使用
轮换对称性=3∫∫x²dydz (由被积式和积分曲面的特点考虑)=3×2∫∫(a²-x²-y²)(±)dydz =0(这里将z²=a²-x²-y²代入,意思就是对xy坐标面进行有向投影,分为上下两个半球,上半球取正号,下半球去负号,所以结果为0)。懂了吧 ?