下列积分中，哪些可以将边界条件代入被积函数，哪些不可以，为什么？有没有什么附加条件？

Question

二重积分、三重积分、一类曲线积分、二类曲线积分、一类曲面积分、二类曲面积分中，哪些是可以将边界条件代入被积函数进行化简的哪些不可以，为什么，还有什么具体条件么？

Answer 1

二重积分、三重积分不可以用代入法；曲线积分，曲面积分是可以用的。
一般来讲，重积分(无论是二重/三重的)都不能把区域方程代入被积函数；
曲线/曲面积分(无论是第一类/第二类)都能把曲线/曲面方程代入被积函数。
所以说，当你利用格林公式或斯托克斯公式以后，要注意，这时候就不能用代入法了。

Answer 2

一类曲线积分、二类曲线积分、一类曲面积分、二类曲面积分中被积分函数在曲线或曲面上取值，一类曲线积分、一类曲面积分的积分元就是曲线或曲面本身，谈不上边界。二类曲线积分、二类曲面积分积分元是曲线或曲面的投影。也不能说是边界。只有按计算后（微积分基本定理）才出现取边界上的函数值。二重积分、三重积分的被积函数是积分区域上定义的函数，也只有按计算后（微积分基本定理）才出现取边界上的函数值。由场论推出的一些公式化简了积分，化成低维图形上的积分，其本质还是微积分基本定理。