1ãå¨matlabä¸ï¼ç§¯åè¿ç®æå¤ç§æ¹å¼ï¼ä¸ºäºä¾¿äºæ¥çä¸åæ¹å¼å¤çå¼åï¼ä»¥ä¸é¢è¿ä¸ªç§¯å为ä¾ï¼
2ã梯形积åæ³
第ä¸ç§ï¼éç¨æç®åçæ¹å¼ï¼ä»¥å½æ°trapz为ä¾ï¼z = trapz(x,y) å ¶ä¸x表示积ååºé´ç离æ£ååéï¼yæ¯ä¸xåç»´æ°çåéï¼è¡¨ç¤ºè¢«ç§¯å½æ°ï¼zæ¯è¿åç积åè¿ä¼¼å¼ã
clc;clear;
% 梯形积åæ³
x = -1:0.001:1;
y = exp(-x.^2);
s = trapz(x,y)
% 计ç®ç»æï¼ s = 1.4936
3ãé«ç²¾åº¦æ°å¼ç§¯åï¼1ï¼
为äºå æ梯形积åæ³ç²¾åº¦ä½çé®é¢ï¼å¯ä»¥éç¨é«ç²¾åº¦ç§¯åæ¹å¼ï¼ç¬¬ä¸ç§å¯ä»¥éç¨ z = quad(Funï¼a,b) 该æ¹å¼æ¯èªéåºæ¥é¿Simpson计åæ³æ±å¾å½æ°Funå¨åºé´[a,b]ä¸å®ç§¯åï¼å¦ä¸ï¼
clc;clear;
% 梯形积åæ³
s = quad(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)
% 计ç®ç»æï¼ s = 1.4936
4ãé«ç²¾åº¦æ°æ®ç§¯åï¼2ï¼
éç¨é«ç²¾åº¦Lobatto积åæ³ï¼æ ¼å¼ï¼ z = quadl(Fun,a,b)
clc;clear;
% 梯形积åæ³
s = quadl(inline('exp(-x.^2)'),-1,1)
% 计ç®ç»æï¼ s = 1.4936
% 注ï¼å¨ç¼åå®ä»£ç åï¼è¦æå¦ä¸å¾çº¢è²ç®å¤´ææå¤è¿è¡ç¨åºæä¼æè¾åºï¼
使用int函数即可。
函数由integrate缩写而来,int 函数表达式,变量,积分上限,积分下限。
举例:求一个Fx = a*x^2,在区间(0,1)对x进行积分。
首先要将 m,x,a,b 这四个变量定义为符号变量。
syms m x a b;
Fx = a*x^2;
int(Fx,x,0,1)
matlab数值积分中函数积分的几种方法:
1、采用inline内联函数
Matlab中可以有采用几种不同的方式来指定被积函数。对于简单的、长度不超过一行的公式采用inline命令比较方便。
例如:可用下面的语句进行计算
>> f=inline('1/sqrt(1+x^4)') %采用inline内联函数
2、特殊点不可积函数,采用realmin
如果我们想要计算,可能使用下面的语句
>> f=inline('sin(x)/x')
3、依赖于参数的积分
一个典型的例子是β函数,它定义为matlab中已经实现了一个现成的β函数,但我们可以以它为例,说明如何处理积分中的参数。创建一个带三个参数的内联函数
>> F=inline('t^(z-1)*(1-t)^(w-1)','t','z','w')
以下列函数为例
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数,对z积分下限是sqrt(x*y),积分上限是x^2*y;对y积分下限是sqrt(x),积分上限是x^2;对x的积分下限1,上限是2,求解如下:
>>syms x y z%定义符号变量
>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式
F2=
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+6 4/225*2^(3/4)%给出有理数解
>>VF2=vpa(F2)%给出默认精度的数值解
VF2=
224.92153573331143159790710032805
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样,如简单的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法,MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)法,MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为:
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol 用来控制积分精度,缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值,n为被积函数的调用次数。百度文库
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